alexgan09
Опубликовано 1 год назад по предмету Математика от alexgan09

/Задачка из эстонской олимпиады Кенгуру, 7-8 класс, 5 баллов/Точки L, M и N лежат на сторонах равностороннего треугольника ABC так, что отрезок ML перпендикулярен стороне AB, NM перпендикулярен стороне BC, а LN перпенликулярен стороне AC. Площадь треугольника ABC равна 36. Найди площадь треугольника LMN.А: 9 B: 12 C: 15D: 16 E:18Желательно с объяснением.

  1. Ответ
    Ответ дан Artem112
    Так как треугольник правильный, то все его углы равны 60°. Рассмотрим треугольник MLB. Угол LBM=60°, тогда угол BML=30°. Пусть LB=х. Тогда MB=2х, так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора найдем ML: [tex]LM= sqrt{MB^2-LB^2} =sqrt{4x^2-x^2} =x sqrt{3} [/tex] Сторона исходного треугольника равна: [tex]AB=AL+LB=MB+LB=2x+x=3x[/tex] По построению, треугольник LMN правильный, значит он подобен с треугольником ABC. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента пропорциональности: [tex] dfrac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = left(dfrac{LM}{AB} right)^2 \ S_{LMN}= left(dfrac{LM}{AB} right)^2 cdot S_{ABC} \ S_{LMN}= left(dfrac{x sqrt{3} }{3x} right)^2cdot 36= dfrac{1}{3} cdot 36=12[/tex] Ответ: 12
Не тот ответ, который вам нужен?
Найди нужный
Самые новые вопросы
Задай вопрос